需要的概率论现代理论中的测度论概念。期望、分布。独立随机变量的大数定律和中心极限定理。特征函数方法。条件期望、鞅和鞅收敛定理。布朗运动。
基本泛函分析：Banach 空间和 Hilbert 空间；Lp 空间；Sobolev 空间；不等式；线性算子和谱（离散和连续）；紧致性。 不动点定理及其应用：压缩映射；局部和全局适定性；Gateaux 和 Frechet 导数；隐函数定理和反函数定理；物理、生物、几何和工程中偏微分方程（PDEs）的各类应用。 变分原理：泛函；约束和拉格朗日乘子；直接方法求极小值；鞍点和山径引理；哈密顿方程。
本课程介绍偏微分方程的数值方法，包括差分方法、有限元方法及相关技术，用于解决稳态和时变问题。
课程内容由参与者确定，由课程负责人协调。
本课程涉及统计推断的基本理论。主题包括指数分布族、充分统计量、完备统计量、凸损失函数、UMVU估计量、估计量的表现、最大似然估计、信息不等式、大样本估计量比较及渐近效率。
I. 无约束优化 1.1 一阶、二阶最优性条件；凸优化 1.2 一阶方法：最速下降法，共轭梯度法，信赖域方法 1.3 二阶方法：牛顿法，拟牛顿法，信赖域牛顿法 1.4 非可微目标函数：一阶最优性条件，邻近点方法，光滑化方法 II. 有约束优化 2.1 一阶、二阶最优性条件，KKT 条件，约束条件 2.2 惩罚方法 2.3 增广拉格朗日方法（ALM） 2.4 交替方向乘子法（ADMM） III. 数据科学中的优化方法 3.1 最小绝对收缩与选择算子（Lasso），半光滑牛顿方法 3.2 展叠凹惩罚估计，差凸（DC）优化方法 3.3 非利普希茨正则化，光滑化方法 3.4 深度学习中的复合非光滑非凸优化
期权定价理论：衍生品、套利、维纳过程、二项过程、几何随机游走、随机积分、伊藤引理、布莱克-斯科尔斯模型、对冲。欧式期权、二项模型、科克-罗斯-鲁宾斯坦方法。美式期权、套利关系、三叉树模型、数值技术、应用。 金融时间序列分析：计量经济学模型、随机漫步假说、单位根检验、ARIMA模型。ARCH和GARCH模型、指数GARCH、随机波动率、多元GARCH模型、应用。
美式期权定价、默顿模型、动态均值-方差分析、考虑交易成本的默顿模型、资本利得税下的默顿问题、资本结构、时间不一致性、最优停止问题、随机控制、奇异控制、脉冲控制、HJB 方程、粘性解、变分不等式方程、数值解等。
泛函空间，广义函数，傅里叶变换，傅里叶乘子，奇异积分，Sobolev空间，拉普拉斯变换，二阶椭圆方程，热方程，次扩散方程
1. 随机向量的收敛性：基本收敛概念、大数定律和中心极限定理、δ方法。 2. 估计方法：矩估计、最大似然估计、M-和Z-估计。 3. 经验过程理论的一些基本结果：度量空间中的随机收敛、Glivenko-Cantelli和Donsker类、M-和Z-估计的应用。 4. 估计方法的比较、邻近性、局部渐近正态性、估计方法的相对效率。 5. 高维统计中的选题：Lasso及相关方法、非渐近误差界、去偏差Lasso、高维模型中的假设检验。
介绍 统计学习概览 非参数统计复习 高维统计复习 深度神经网络 深度神经网络函数 基于深度神经网络的非参数回归 深度神经网络的逼近性质 随机误差分析的实证过程理论 深度非参数回归的误差分析 分布学习 非参数密度估计 生成学习：GANs, VAE 扩散模型 分布学习的误差分析 应用 条件分布学习 非参数条件密度估计 条件生成学习 监督学习 半监督学习 预测：置信预测 条件分布学习的误差分析 应用 学习与优化 学习与优化的区别 神经网络优化面临的挑战 随机梯度下降 表示学习（视情况而定） 监督表示学习 自监督学习 应用：迁移学习和领域适应
Sobolev 空间：弱导数，Sobolev 空间，Sobolev 不等式，迹，Rellich-Kondrachov 紧致性。 椭圆方程：椭圆边值问题的弱解，Lax-Milgram 定理，正则性，谱理论。 抛物方程：弱解，Galerkin 方法，正则性。
学生和首席导师将共同确定需参加的学术研讨会。
学生和首席导师将共同确定需参加的学术研讨会。
学生和首席导师将共同确定需参加的学术研讨会。
学生和首席导师将共同确定需参加的学术研讨会。
♦ 该主题由M. Phil/Ph. D学生的导师确定。 ♦ 学生必须将完成的研究报告连同相关的文献参考一起提交给导师。 ♦ 学生应定期与导师咨询文献回顾的进展情况。
• 科学史：从牛顿到爱因斯坦，量子物理的建立，大爆炸理论，纳米技术等 • 物理学的重大突破，塑造我们现代世界，例如，经典力学，电磁学，量子力学，原子理论和元素周期表，以及纳米技术 • 从基础物理到应用和技术，例如， - 纳米技术 - 材料科学 - 清洁能源与可持续性 - 量子计算
